陈仲《高数竞赛解析教程》第一章·上

已知函数 在区间 内连续，且 和 都存在，则 在区间 内：
A. 有最小值
B. 有最大值
C. 有界
D. 无界

易知 在区间 上连续，则 在区间 上必然有最大值和最小值.
由于最大值和最小值都有可能在端点时取到，所以只能说 在区间 上有界.
故选 C.

设 ，当 时，，求 和 .

取 ，得到

所以

所以

所以

设函数 满足

求

注意到式中有 ，则可设

则有

所以 .
故

求

设

裂项可得

则有

所以

求

有公式

注意到

有

并且

根据夹逼定理，有

设

求

注意到

所以

所以

设

求 和 的值.

注意到

令

根据泰勒展开，有

故 时，有

所以 .

求

利用和差化积，有

又当 时，

所以 时，

因为

所以

求

注意到

令

又有

所以

求

注意到

又有

则

求

令

则

求

易得

分部分计算，有


所以

求

注意到

则有

求

显然

求

令

有

求

根据求和公式，有


所以

所以

故

求

分子分母同除 ，有

求

由定义知，

所以

有极限


由夹逼定理，

求

令

进行裂项，有

所以

所以

求

注意到

所以

而

所以