陈仲《高数竞赛解析教程》第一章·中

设 是 的三次多项式，且


求极限

可设

则


联立，解得


所以

所以

求正整数 ，使得

注意到

由泰勒公式，

所以

所以 .

设 ，试证明数列 收敛，并求其极限.

有

所以当 时，.
下证 ：

假设 ，则

归纳证毕.
所以 单调递增且具有上界 ，所以 收敛.
所以

设

则有

解得

所以

设 ，试证明数列 收敛，并求其极限.

有特殊值



发现 时，.
有

所以当 时，.
下证 ：

假设 ，则

所以 单调递减且有下界 ，所以 收敛.
所以

设

则

解得

所以

求

的表达式.

注意到

所以

有

时，

时，

时，

所以

所以

求函数

的间断点，并判别其类型.

已知间断点为 和 .
对 ，


所以

所以 是可去间断点.
对 ，有


所以

所以 是跳跃间断点.

设

有可去间断点 ，求 和 的值.

设

为连续函数，试确定 和 的值.

讨论函数

的定义域、连续性；若有间断点，指出其类型.