陈仲《高数竞赛解析教程》第一章·II

设是的三次多项式，且

求极限

可设

则

联立，解得

所以

所以

求正整数，使得

注意到

由泰勒公式，

所以

所以 .

设，试证明数列收敛，并求其极限.

有

所以当时，.
下证：

假设，则

归纳证毕.
所以单调递增且具有上界，所以收敛.
所以

设

则有

解得

所以

设，试证明数列收敛，并求其极限.

有特殊值

发现时，.
有

所以当时，.
下证：

假设，则

所以单调递减且有下界，所以收敛.
所以

设

则

解得

所以

求

的表达式.

注意到

所以

有

时，

时，

时，

所以

所以

求函数

的间断点，并判别其类型.

已知间断点为和 .
对，

所以

所以是可去间断点.
对，有

所以

所以是跳跃间断点.

设

有可去间断点，求和的值.

因为是间断点，所以或 .
若，则

所以和都不存在，所以此时不是可去间断点，舍去.
若，则

因为存在，所以，所以 .
所以，，.

设

为连续函数，试确定和的值.

或时，

时，

时，

时，

连续，即

所以，.

讨论函数

的定义域、连续性；若有间断点，指出其类型.

当时，将会无穷振荡，极限不存在，所以定义域为 .
当时，

当时，

当时，

所以

所以

所以在处不连续，是的跳跃间断点.