陈仲《高数竞赛解析教程》第一章·III

证明：方程

在 内恰有一个实根.

设

则

所以，在 内，.
所以 在 内单调递增.


所以

所以 在 内恰有一个实根.

证明：方程

至多有两个实根（其中 为常数，）.

设

则

所以


所以， 在 内单调递增，在 内单调递减.
又有



所以，
当 时， 有且仅有 一个实根；
当 时， 没有实根；
当 时， 有两个实根.
所以 至多有两个实根.

证明：方程

恰有一个实根.

设

则

所以 当且仅当 时取等.
所以 在 上单调递增.
又有


所以 恰有一个实根.

证明：方程

恰有三个实根.

设

注意到

则


有


所以 在 内单调递减，在 内单调递增.



所以，存在 ，使得 .
所以 在 和 内单调递增，在 内单调递减.
因为 ，
所以 ，
所以一定存在 ，使得 且不存在 ，使得 .
所以 恰有三个实根.

若函数 在闭区间 上连续，且 ，求证：，使得

设

则有


则

所以，必然 ，使得

已知

求证：
（1）对于任何自然数 ，方程

在区间 内仅有一根；
（2）设

满足

则

（1）
注意到

所以

由于 在 内连续且单调递减，
又


由介值定理，方程

在区间 仅有一个根.
（2）
由（1）得

所以