陈仲《高数竞赛解析教程》第二章·I

已知命题：若函数 满足 ，且

则 在 处可导，且 ，判断该命题是否成立. 若成立，给出证明；若不成立，举一反例并作出说明.

不成立，反例：

在 处不连续也不可导，但是 且

设

则 在 处：
A. 不连续
B. 连续但不可导
C. 可导但导函数不连续
D. 可导且导函数连续

因为

所以， 在 处不连续.
故选 A.

若曲线 与 在点 处相切，则常数 的值分别为：
A.
B.
C.
D.

经过点 ，有



在 的两边同时对 求导，有

所以


所以

所以 .
故选 D.

设

求 .

所以，
当 时，.
当 时，.


所以

所以 在 处不可导.
所以：

设

为使 在区间 上可导，求 的值.

注意到



所以

所以 .
所以， 时，

所以


所以 .

求函数

的不可导点.

因式分解，有

处，，


所以，

所以 是一个不可导点.
处，，


所以，

所以 是一个不可导点.
处，，


所以，

所以， 在 处可导.
所以 的不可导点是 和 .

设函数

且 ，求 .

对等式两边求导，有

所以

设

求 .

时，

则

时，

则

所以， 时，

时，


所以，

所以 .
所以，

已知

求 .

有 ，
根据定义，

已知

求 .

有

则

已知

求 .

注意到：

所以

已知

求 .

对等式两边同时求导，有

所以

已知

求 .

对等式两边同时求导，有

即

所以

所以

所以

已知

求 .

所以

已知

求 .

所以

所以

已知

且 在 处可导，，求 .

根据复合函数求导公式，有

所以

又有

所以

设

其中 为正整数，求 .

注意到

所以