陈仲《高数竞赛解析教程》第二章·II

设由方程

确定，其中具有二阶导数，且，求 .

因为

所以

两边分别对求导，有

所以

所以

又因为

所以

设

求使得存在的最高阶数 .

在上连续，
对，

所以，.

所以

所以，在上连续.
对，

所以，.

所以，.
所以，不存在.
所以，最大是 .

已知

求 .

注意到，

且 .
所以，

设

求 .

所以，

已知

求 .

已知函数满足：且，求 .

所以，.
对两边同时对求导，有

取，有

即

所以

同时对两边求不定积分，有

即

所以

因为，所以，且 .
所以

求

由泰勒公式：

所以，

求

由泰勒公式：

所以，

又有，

所以，

求

由泰勒公式：

所以，

又有，

所以，

求

所以，

求

由泰勒公式：

所以，

又有，

所以，

求

所以，

求

所以，

又有，

所以，

求

已知，，.

由泰勒公式：

所以，

所以，

设在区间上连续可导，且

证明存在.

有

所以，

又有，

所以，

所以，在区间上单调递增.
由泰勒公式，

所以，

所以，

所以，

所以，
$$\lim_{x \rightarrow + \infty} f \left( x \right) - f \left( 1 \right) < \frac{1}{2} \left[ -2x^{- \frac{1}{2}} \right] {1}^{+ \infty} = 1 $所以，$ \lim{x \rightarrow + \infty} f \left( x \right) < f \left( 1 \right) + 1$$
所以单调有界，所以存在.