陈仲《高数竞赛解析教程》第二章·III

考察函数

在区间 上是否满足拉格朗日中值定理的条件，如果满足，求出该定理结论中 的值.

有



所以，

所以， 在闭区间 上连续.
有


所以，

所以， 在开区间 内可导.
所以， 在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件.
所以，

所以，

（原书此处答案似乎有误。）

已知函数 在区间 上可微，且 ，证明：存在一点 （），使得

要证：

即证：

即证：

注意到，若设

则

有

由罗尔定理：存在一点 （），使得 .
所以，原命题得证.

设 在 上连续，在 内可导，，，如果 ，，求证：，且 ，使得

设

由介值定理，一定存在 使得 .
在 上，由拉格朗日中值定理，有

同理，在 上，由拉格朗日中值定理，有

所以，



所以，原命题得证.

设 在 上连续，在 内可导，，. 证明：存在互异的 ，使得

由介值定理，一定存在 ，使得 ，一定存在 ，使得 .
在 上，由拉格朗日中值定理，有

同理，在 上，由拉格朗日中值定理，有

同理，在 上，由拉格朗日中值定理，有

所以，




所以，原命题得证.

设 在 上连续，在 内二阶可导，且 ，. 证明：存在 ，使得 .

设

则


注意到：.
则，在 上，由罗尔定理，有

同理，在 上，由罗尔定理，有

在 上，由罗尔定理，有

即

原命题得证.

设 在 上可导，，证明：（ 与 不一定相等），使得

在 上，由拉格朗日中值定理，有

在 上，由柯西中值定理，有

所以，

整理得到，

原命题得证.