陈仲《高数竞赛解析教程》第二章·III

考察函数

在区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，如果满足，求出该定理结论中的值.

有

所以，

所以，在闭区间上连续.
有

所以，

所以，在开区间内可导.
所以，在区间上满足拉格朗日中值定理的条件.
所以，

所以，

（原书此处答案似乎有误。）

已知函数在区间上可微，且，证明：存在一点（），使得

要证：

即证：

即证：

注意到，若设

则

有

由罗尔定理：存在一点（），使得 .
所以，原命题得证.

设在上连续，在内可导，，，如果，，求证：，且，使得

设

由介值定理，一定存在使得 .
在上，由拉格朗日中值定理，有

同理，在上，由拉格朗日中值定理，有

所以，

所以，原命题得证.

设在上连续，在内可导，，. 证明：存在互异的，使得

由介值定理，一定存在，使得，一定存在，使得 .
在上，由拉格朗日中值定理，有

同理，在上，由拉格朗日中值定理，有

同理，在上，由拉格朗日中值定理，有

所以，

所以，原命题得证.

设在上连续，在内二阶可导，且，. 证明：存在，使得 .

设

则

注意到：.
则，在上，由罗尔定理，有

同理，在上，由罗尔定理，有

在上，由罗尔定理，有

即

原命题得证.

设在上可导，，证明：（与不一定相等），使得

在上，由拉格朗日中值定理，有

在上，由柯西中值定理，有

所以，

整理得到，

原命题得证.

设在上二阶可导，，且，. 证明：，有

任取，在处，由泰勒公式，有

所以，

所以，

取绝对值，有

注意到（当且仅当在端点处取等），有

原命题得证.

已知函数在区间上二阶可导，且，. 求证：存在，使得 .

在上，由拉格朗日中值定理，有

要使得

即使得

注意到

是

的原函数.
且 .
所以，在上，由罗尔定理，有

即

原命题得证.

已知的二阶导数在上连续，且 . 试证：在区间上至少存在一点，使得

构造函数

注意到

在处，由泰勒公式

又有

所以

所以，至少存在，使得

求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，且是曲线的拐点.

设

则

有

解得，，，.
所以，

设函数在上二阶可导，，，且时，. 证明：在上恰有一个零点.

因为时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，时，.
所以，在上单调递减.
所以，至多只有一个零点.
又有，

即

又有，

所以，

所以，

所以，在上恰有一个零点，原命题得证.

假设为常数，方程

在区间上恰有一根，求的取值范围.

要使

即使

设

则

当时，，在上单调递增.
又有，

所以，在上恰有一根.
当时，有

又有，

所以，在上单调递增，在上单调递减.
有

所以，时，在上恰有一个零点.
所以，

已知方程

存在实根，常数，，求和应满足的条件.

设

则

则

所以，在上单调递减，在上单调递增.
所以，

所以，

已知数列，其中

试求极限，并证明：当时，数列单调递减.

所以，

又有，

设

所以，

有，

所以，始终单调递增，始终单调递减.
又有，

所以，当时，，单调递减.
所以，时，单调递减.

证明：

设

所以，

又有，

所以，

所以，在上单调递减.
又有，，
所以，，所以，在上单调递减.
又有，
所以，所以，.
原命题得证.

证明：

设

则

则

且

在上，有

即

即

将替换为，则原命题得证.

证明：

设

则

设

则

当时，，
所以，在上单调递增，
所以，，，
所以，在上单调递减.
所以，，
所以，

所以，同除，有

当时，，
所以，在上单调递减，
所以，，，
所以，在上单调递减.
所以，，
所以，

所以，同除，有

原命题得证.

证明：

不妨令 .
设

则

所以，和都是凹函数.
所以，

所以，

即

所以，原命题得证.

证明：

令，所以，.
要证：

即证：

即证：

即证：

由泰勒展开，

所以，

原命题得证.

求曲线

的渐近线.

设

则在和处没有定义.

所以，是的渐近线.
又有，

所以，和是的渐近线.
所以，综上，，和是曲线的渐近线.

求曲线

的渐近线.

设

则在处没有定义.

所以，是的渐近线.
令，又有，

所以，和是的渐近线.
所以，综上，，和是曲线的渐近线.