陈仲《高数竞赛解析教程》第三章·II

求定积分

若，则

若，则

若，则

综上，

求定积分

令，有

所以，

所以，

求定积分

所以，

所以，

求定积分

令，

所以，

所以，

求定积分

令，

设

求

令，
$$\begin{aligned} \int_0^2 f \left( x - 1 \right) \text{d} x & = \int_{-1}^1 f \left( t \right) \text{d} t \ & = \int_{-1}^0 \frac{1}{1 + e^t} \text{d} t + \int_0^1 \frac{1}{1 + t} \text{d} t \ & = \left[ \ln \left( 1 + t \right) \right] 0^1 + \int{-1}^0 \left( \frac{1}{e^t} - \frac{1}{1 + e^t} \right) \text{d} \left( e^t \right) \ & = \ln 2 + \left[ \ln \left\vert \frac{e^t}{1 + e^t} \right\vert \right] _{-1}^0 \ & = \ln \left( e + 1 \right) \end{aligned}$$

已知函数

其中表示不超过的最大整数，试求极限

在上，；
在上，；
在上，；
以此类推，在上，
所以，
所以，具有周期性，周期为
所以，
$$\begin{aligned} \int_0^x f \left( x \right) \text{d} x & = \sum_{i = 0}^{\left[ x \right] - 1} \int_i^{i + 1} f \left( x \right) \text{d} x + \int_{\left[ x \right]}^x f \left( x \right) \text{d} x \ & = \left[ x \right] \int_0^1 f \left( x \right) \text{d} x + \int_0^{x - \left[ x \right]} f \left( x \right) \text{d} x \ & = \left[ x \right] \left[ \frac{1}{2} x^2 \right] 0^1 + \left[ \frac{1}{2} x^2 \right] 0^{x - \left[ x \right]} \ & = \frac{1}{2} \left( \left[ x \right] + \left( x - \left[ x \right] \right) ^2 \right) \end{aligned} $所以，$ \begin{aligned} \lim{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{x} \int_0^x f \left( x \right) \text{d} x & = \lim{x \rightarrow + \infty} \frac{\left[ x \right] + \left( x - \left[ x \right] ^2 \right)}{2x} \ & = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x - \left( x - \left[ x \right] \right) + \left( x - \left[ x \right] \right) ^2}{x} \ & = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

求极限

设函数连续，且，求

对于分子，

对于分母，令

所以，

设函数由方程

所确定，求

当时，

因为

所以，
对等式两边同时关于求导，有

所以，

所以，

设函数在区间上连续，证明

记
则

右边，

左边，

所以，原命题得证

设在上具有连续的二阶导数，且有，证明

令，

所以，右边，

原命题得证

已知函数在区间上有连续的二阶导数，且有，证明：，使得

令

由泰勒公式，

所以，

两式相减，有

所以，

因为在和之间，
所以，存在，

所以，原命题得证

已知函数在区间上有连续二阶导数，且有，证明：存在，使得

设

由泰勒公式，

取，则

两式相减，有

因为在和之间，
所以，，

原命题得证

已知函数在区间上有连续的二阶导数，证明：，使得

设

其中使得

由罗尔定理，存在使得
所以，

设

有

又有
所以，

由积分中值定理，存在，使得

所以，
原命题得证

已知函数在区间上连续，且积分

证明：在上存在不同的两点使得

设

所以，，，
由介值定理，存在使得
在上，由积分中值定理，存在使得

同理，在上，由积分中值定理，存在使得

所以，

原命题得证