陈仲《高数竞赛解析教程》第三章·I

设 ，，求 .

所以，

又有，，
所以，.
所以，

设

求

所以，

所以，

设定义与 的函数 满足

又 ，求 .

当 时，，
所以，

当 时，，
所以，

又， 且 连续，
所以，，.
所以，

设 的一个原函数为 ，求

有

利用分部积分可得，

求不定积分

求不定积分

求不定积分

令 ，有

又有 ，所以，

求不定积分

令 ，有

又有，，所以，

求不定积分

求不定积分

求不定积分

令 ，有

又有 ，，，所以，

求不定积分

令 ，

又有 ，所以，

求不定积分

求不定积分

求不定积分

注意到：

所以，

求不定积分

当 时，

所以，

当 时，

所以，

当 时，

所以，

所以，综上，

求不定积分

令 ，，

设 在 上连续，满足

求 .

对等式两边同时取定积分，有

又有，

所以，

所以，

求极限

求极限

有

又有
$$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^n \frac{1}{n} \ln \left( 1 + \frac{i}{n} \right) & = \int_0^1 \ln \left( 1 + x \right) \text{d} x \ & = \left[ \left( x + 1 \right) \ln \left( x + 1 \right) - x \right] 0^1 \ & = 2 \ln 2 - 1 \end{aligned}\begin{aligned} \lim{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n \left( n + 1 \right) \cdots \left( 2n + 1 \right)} & = e^{2 \ln 2 - 1} \ & = \frac{4}{e} \end{aligned}$$

求极限

注意到，当 时，

所以，

显然，
$$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^n \sin \frac{i}{n} \pi & = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n + \frac{1}{n}} \sum_{i = 0}^n \sin \frac{i}{n} \pi \ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^n \sin \frac{i}{n} \pi \ & = \int_0^1 \sin \pi x \text{d} x \ & = \left[ - \frac{\cos \pi x}{\pi} \right] 0^1 \ & = \frac{2}{\pi} \end{aligned}\begin{aligned} \lim{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sin \frac{1}{n} \pi}{n + 1} + \frac{\sin \frac{2}{n} \pi}{n + \frac{1}{2}} + \cdots + \frac{\sin \frac{n}{n} \pi}{n + \frac{1}{n}} \right) & = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^n \frac{\sin \frac{i}{n} \pi}{n + \frac{1}{i}} \ & = \frac{2}{\pi} \end{aligned}$$

求极限

其中

有

所以，

求极限

注意到，当 时，

所以，

又有，
$$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^n 2^{\frac{i}{n}} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n + \frac{1}{n}} \sum_{i = 1}^n 2^{\frac{i}{n}} \ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n 2^{\frac{i}{n}} \ & = \int_0^1 2^x \text{d} x \ & = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right] 0^1 \ & = \frac{1}{\ln 2} \end{aligned}\begin{aligned} \lim{n \rightarrow \infty} \left( \frac{2^{\frac{1}{n}}}{n + 1} + \frac{2^{\frac{2}{n}}}{n + \frac{1}{2}} + \cdots + \frac{2^{\frac{n}{n}}}{n + \frac{1}{n}} \right) & = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^n \frac{2^{\frac{i}{n}}}{n + \frac{1}{i}} \ & = \frac{1}{\ln 2} \end{aligned}$$

已知函数

求

时，

注意到，

则

有


由夹逼定理，

当 时，

所以，

所以，

设 在 上连续，且

证明，存在 使得

设

则存在 ，使得

已知

求

有

所以，
$$\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \text{d} x = \left[ \arctan x \right] 0^1 = \frac{1}{4} \pi\begin{aligned} \frac{1}{4} \pi - A_n & = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \text{d} x - \sum{i = 1}^n \frac{1}{n} \frac{1}{1 + \left( \frac{i}{n} \right) ^2} \ & = \sum_{i = 1}^n \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} \left( \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + \left( \frac{i}{n} \right) ^2} \right) \text{d} x \ & = \sum_{i = 1}^n \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{\frac{2ti}{n}}{\left( 1 + \left( \frac{i}{n} \right) ^2 \right) ^2} \text{d} t \ & = \sum_{i = 1}^n \frac{i}{n^3} \frac{1}{\left( 1 + \left( \frac{i}{n} \right) ^2 \right) ^2} \end{aligned}n \left( \frac{1}{4} \pi - A_n \right) = \sum_{i = 1}^n \frac{i}{n^2} \frac{1}{\left( 1 + \left( \frac{i}{n} \right) ^2 \right) ^2}$$