陈仲《高数竞赛解析教程》第三章·III

设 为正整数，

（1）
求 （）
（2）
试求定积分

（1）

（2）

设函数 在 上可导， 在 上可积，且 ，求证：，有

对 和 ，显然成立
对任意 ，有


两式相加，原命题得证

设 ， 在 上的导数连续，求证：

令

则有

所以，

对两边同时积分，有

原命题得证

已知函数 在区间 上连续并单调增加，求证：

设

则有


所以， 在 上单调递增，
由切比雪夫不等式，

又有

代入，则原命题得证

设 在 （）上连续，且 ，若对于 上任何一点都有

求证：，

注意到，
若存在一个 使得 ，由于保号性，则存在一个区间 （），使得 且 ， 且 ，有
取任意 使得 ，有

矛盾，
则不存在 使得
则原命题得证

设函数 二阶可导，且 ，

求证：

是一个凹函数
则 有

当且仅当 时取等，
对等式两边同时积分，有

所以，原命题得证

设 和 在 上连续，并且两函数同时单调增加或同时单调减少，证明：

下证切比雪夫不等式：
由于 和 在 上同单调增或同单调减，则对于任意 ，有

则有二重积分

令 ，展开，有

同除 并取 ，则原命题得证

已知曲线 的极坐标方程为

求该曲线在 所对应的点处的切线 的直角坐标方程，并求曲线 、切线 与 轴所围图形的面积

时，，对应直角坐标是
有如下直角坐标方程

对两边同时求导，有

整理得

将 代入，解得
所以， 具有如下直角坐标方程：

在 的直角坐标方程中，取 ，有
所以，

令 ，又有，

所以，

已知直线 ：，曲线 ：，求由 与 所围平面图形 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积

联立直线 和曲线 的方程，解得二者交点为 和
计算曲线 上每一点 到直线 的距离的平方，有

计算曲线 上每一点 向直线 的投影点的位置，有

所以，

所以，

已知直线 ：，曲线 ：，求由 与 所围平面图形 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积

联立直线 和曲线 的方程，解得二者交点为 和
计算曲线 上每一点 到直线 的距离的平方，有

计算曲线 上每一点 向直线 的投影点的位置，有

所以，

所以，

设 ：，，，求区域 绕直线 旋转一周的旋转体的体积

由上述两题可得：

求反常积分

令 ，有

求反常积分

求反常积分

令 ，有